Упр.289 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Концы хорды $$AB$$ делят окружность на две дуги, градусные меры которых относятся как $$3:7$$. Под какими углами видна эта хорда из точек $$M$$ и $$K$$ (рис. 95)?

Подробный ответ

Пусть градусные меры дуг $$AKB$$ и $$AMB$$ относятся как $$3:7$$. Тогда

$$\overset{\frown}{AKB}+\overset{\frown}{AMB}=360^\circ.$$

Обозначим $$\overset{\frown}{AKB}=3x$$, $$\overset{\frown}{AMB}=7x$$. Тогда

$$3x+7x=360^\circ,$$
$$10x=360^\circ,$$
$$x=36^\circ.$$

Следовательно,

$$\overset{\frown}{AKB}=3\cdot 36^\circ=108^\circ,$$
$$\overset{\frown}{AMB}=7\cdot 36^\circ=252^\circ.$$

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. Поэтому

$$\angle AMB=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AKB}=\frac{108^\circ}{2}=54^\circ,$$
$$\angle AKB=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AMB}=\frac{252^\circ}{2}=126^\circ.$$