Упр.277 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 277. Многоугольник разбит диагоналями на треугольники, которые окрашены в чёрный и белый цвета так, что любые два треугольника, имеющие общую сторону, окрашены в разные цвета. Докажите, что количество чёрных треугольников не больше утроенного количества белых треугольников.

Рассмотрим любой чёрный треугольник. У него три стороны, и по каждой стороне к нему может примыкать не более одного треугольника. Так как соседние треугольники окрашены в разные цвета, то все треугольники, имеющие общую сторону с данным чёрным треугольником, являются белыми.

Следовательно, каждый чёрный треугольник имеет не более трёх граничащих с ним белых треугольников.

Теперь сопоставим каждому чёрному треугольнику все белые треугольники, которые с ним граничат. Тогда каждому чёрному треугольнику соответствует не более трёх белых, значит, число чёрных треугольников не может превышать утроенного числа белых.

Итак, если обозначить число чёрных треугольников через $$B$$, а белых — через $$W$$, то

$$B\le 3W.$$

Ответ

$$B\le 3W$$