Упр.275 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Хорда $$AB$$ окружности с центром $$O$$ перпендикулярна радиусу $$OC$$ и делит его пополам. Найдите: 1) угол $$\angle AOB$$; 2) угол $$\angle ACB$$.

Подробный ответ

Рассмотрим окружность с центром $$O$$. Тогда $$OA=OB=OC$$ как радиусы одной окружности.

Так как хорда $$AB$$ перпендикулярна радиусу $$OC$$ и делит его пополам, то точка $$E$$ — середина $$OC$$, а прямая $$AB$$ проходит через $$E$$ и перпендикулярна $$OC$$.

В треугольнике $$AOC$$ имеем: $$AE \perp OC$$ и $$OE=CE$$, значит $$AE$$ — и медиана, и высота. Следовательно, $$AO=CO$$, поэтому треугольник $$AOC$$ равносторонний.

Тогда

$$\angle AOC=60^\circ.$$

Аналогично в треугольнике $$BOC$$: $$BE \perp OC$$, $$OE=CE$$, значит $$BE$$ — медиана и высота, откуда $$BO=CO$$. Следовательно, треугольник $$BOC$$ равносторонний, и

$$\angle BOC=60^\circ.$$

Теперь найдём искомые углы:

$$\angle AOB=\angle AOC+\angle BOC=60^\circ+60^\circ=120^\circ,$$

$$\angle ACB=\angle ACO+\angle BCO=60^\circ+60^\circ=120^\circ.$$