Упр.273 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

1. В окружности с центром О проведены диаметр АВ и хорда АС. Докажите, что $$\angle ВОС = 2\angle BAC$$.

Рассмотрим треугольник $$AOC$$. Так как $$O$$ — центр окружности, то $$OA=OC$$ как радиусы, значит, $$\triangle AOC$$ равнобедренный. Поэтому

$$\angle OAC=\angle ACO.$$

Сумма углов треугольника $$AOC$$ равна $$180^\circ$$, значит

$$\angle OAC+\angle ACO+\angle AOC=180^\circ.$$

Так как $$\angle OAC=\angle ACO$$, получаем

$$2\angle OAC+\angle AOC=180^\circ.$$

С другой стороны, точки $$A$$, $$O$$, $$B$$ лежат на одной прямой, поэтому

$$\angle AOC+\angle BOC=180^\circ.$$

Тогда

$$\angle AOC=180^\circ-\angle BOC.$$

Подставим это в равенство для треугольника $$AOC$$:

$$2\angle OAC+180^\circ-\angle BOC=180^\circ,$$

откуда

$$2\angle OAC=\angle BOC.$$

Но луч $$OA$$ лежит на диаметре $$AB$$, значит $$\angle OAC=\angle BAC$$. Следовательно,

$$\angle BOC=2\angle BAC.$$

Ответ

$$\angle BOC=2\angle BAC.$$