Упр.272 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 272. В окружности проведены диаметры АВ и CD. Докажите, что АС = BD и AC параллельна BD.

Подробный ответ

1) Так как $$AB$$ и $$CD$$ — диаметры одной окружности с центром $$O$$, то

$$AO=BO=CO=DO=R.$$

2) Рассмотрим треугольники $$\triangle AOC$$ и $$\triangle BOD$$.

У них:

$$AO=BO,$$

$$CO=DO,$$

$$\angle AOC=\angle BOD$$ — вертикальные углы.

Следовательно, $$\triangle AOC \cong \triangle BOD$$ по двум сторонам и углу между ними.

Отсюда

$$AC=BD.$$

Кроме того, $$\angle ACO=\angle BDO.$$

3) Прямые $$CO$$ и $$DO$$ лежат на одной прямой $$CD$$, значит углы $$\angle ACO$$ и $$\angle BDO$$ являются накрест лежащими при секущей $$CD$$ для прямых $$AC$$ и $$BD$$. Поэтому

$$AC \parallel BD.$$

Итак, $$AC=BD$$ и $$AC \parallel BD$$.