Упр.271 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 271. Через вершину В параллелограмма ABCD проведена прямая, которая не имеет с параллелограммом других общих точек. Вершины А и С удалены от этой прямой на расстояния а и b соответственно. Найдите расстояние от точки D до этой прямой.

Подробный ответ

Пусть прямая, проведённая через вершину $$B$$, пересекает диагональ $$AC$$ в точке $$O$$, а из точек $$A$$, $$C$$ и $$D$$ опущены перпендикуляры на эту прямую. Обозначим основания перпендикуляров через $$E$$, $$F$$ и $$M$$ соответственно.

Тогда $$AE \perp EF$$, $$CF \perp EF$$, $$DM \perp EF$$, причём $$AE=a$$, $$CF=b$$.

Так как $$ABCD$$ — параллелограмм, то его диагонали пересекаются и делятся пополам, значит

$$AO=OC,\qquad BO=DO.$$

Рассмотрим четырёхугольник $$EFCA$$. В нём $$EA \perp EF$$ и $$FC \perp EF$$, следовательно, $$EA \parallel FC$$. Кроме того, точки $$A$$ и $$C$$ лежат на диагонали $$AC$$, а точка $$O$$ — её середина. Поэтому отрезок $$KO$$, где $$K$$ — основание перпендикуляра из $$O$$ на $$EF$$, является средней линией трапеции $$EFCA$$.

Тогда

$$KO=\frac{1}{2}(EA+FC)=\frac{1}{2}(a+b).$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$BMD$$. В нём $$BM \parallel EF$$, а значит $$KO \perp BM$$ и $$DM \perp BM$$. Следовательно, $$KO$$ — средняя линия этого треугольника, поэтому

$$DM=2KO.$$

Подставим найденное значение $$KO$$:

$$DM=2\cdot \frac{1}{2}(a+b)=a+b.$$