Упр.267 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 267. Докажите, что точка пересечения биссектрис углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, принадлежит прямой, которая содержит её среднюю линию.
1) В трапеции $$ABCD$$ имеем $$AD \parallel BC$$, поэтому $$\angle A + \angle B = 180^\circ$$.
Пусть $$M$$ и $$N$$ — середины боковых сторон $$AB$$ и $$CD$$ соответственно. Тогда $$MN$$ — средняя линия трапеции, значит $$MN \parallel BC$$.
2) Точка $$O$$ — пересечение биссектрис $$AE$$ и $$BF$$, поэтому в треугольнике $$ABO$$
$$\angle BAO + \angle ABO + \angle AOB = 180^\circ.$$
Так как $$AE$$ и $$BF$$ — биссектрисы, то
$$\angle BAO=\frac{1}{2}\angle A,\qquad \angle ABO=\frac{1}{2}\angle B.$$
Следовательно,
$$\frac{1}{2}\angle A+\frac{1}{2}\angle B+\angle AOB=180^\circ.$$
Но $$\angle A+\angle B=180^\circ$$, значит
$$90^\circ+\angle AOB=180^\circ,$$
откуда $$\angle AOB=90^\circ.$$
3) На прямой $$OM$$ отметим точку $$K$$ так, что $$MK=OM$$.
Тогда в четырёхугольнике $$AKBO$$:
$$AM=BM,$$
$$MK=MO,$$
$$\angle AOB=90^\circ.$$
Следовательно, $$AKBO$$ — прямоугольник, а значит
$$AB=KO.$$
4) В треугольнике $$MBO$$ имеем
$$BM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}KO=OM.$$
Значит, $$\triangle MBO$$ равнобедренный, поэтому
$$\angle MOB=\angle MBO.$$
5) Так как $$OM \parallel BC$$, а точки $$B, O, F$$ лежат на одной прямой, то
$$\angle MBO=\angle OBC.$$
Следовательно, прямая $$BO$$ образует с $$OM$$ и $$BC$$ равные углы, а значит $$OM \parallel BC$$ и точка $$O$$ лежит на прямой $$MN$$.
Итак, $$O \in MN$$.
Ответ
$$O \in MN.$$