Упр.266 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 266. В трапеции ABCD (ВС параллельна AD) известно, что AC перпендикулярна BD, угол CAD = 30°, BD = 8 см. Найдите среднюю линию трапеции.

Подробный ответ

Пусть $$I$$ — точка пересечения диагоналей трапеции $$ABCD$$. Тогда $$AD \parallel BC$$, а $$EF$$ — средняя линия трапеции, значит

$$EF=\frac{1}{2}(AD+BC).$$

Так как $$AC \perp BD$$, то треугольники $$AID$$ и $$BIC$$ прямоугольные, причём $$\angle CAD=30^\circ$$. Поскольку $$AD \parallel BC$$, получаем

$$\angle BCA=\angle CAD=30^\circ.$$

В прямоугольном треугольнике $$AID$$:

$$\angle DAI=30^\circ,$$

следовательно, катет, лежащий против угла $$30^\circ$$, равен половине гипотенузы:

$$AD=2DI.$$

Аналогично в прямоугольном треугольнике $$BIC$$:

$$\angle BCI=30^\circ,$$

поэтому