Упр.266 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

В трапеции $$ABCD$$ ($$BC \parallel AD$$) известно, что $$AC \perp BD$$, $$\angle CAD = 30^\circ$$, $$BD = 8\ \text{см}$$. Найдите среднюю линию трапеции.

Пусть $$I$$ — точка пересечения диагоналей трапеции $$ABCD$$. Тогда $$AD \parallel BC$$, а $$EF$$ — средняя линия трапеции, значит

$$EF=\frac{1}{2}(AD+BC).$$

Так как $$AC \perp BD$$, то треугольники $$AID$$ и $$BIC$$ прямоугольные, причём $$\angle CAD=30^\circ$$. Поскольку $$AD \parallel BC$$, получаем

$$\angle BCA=\angle CAD=30^\circ.$$

В прямоугольном треугольнике $$AID$$:

$$\angle DAI=30^\circ,$$

следовательно, катет, лежащий против угла $$30^\circ$$, равен половине гипотенузы:

$$AD=2DI.$$

Аналогично в прямоугольном треугольнике $$BIC$$:

$$\angle BCI=30^\circ,$$

поэтому

$$BC=2BI.$$

Тогда

$$EF=\frac{1}{2}(AD+BC)=\frac{1}{2}(2DI+2BI)=DI+BI.$$

Но $$DI+BI=BD$$, а по условию $$BD=8\text{ см}$$. Значит,

$$EF=8\text{ см}.$$

Ответ

$$8\text{ см}$$