Упр.265 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 265. Диагональ равнобокой трапеции разбивает её на два равнобедренных треугольника. Найдите утлы трапеции.

В трапеции $$ABCD$$ имеем $$AD \parallel BC$$ и $$AB=CD$$, значит, трапеция равнобокая. Поэтому $$\angle A=\angle D$$, $$\angle B=\angle C$$.

Диагональ $$BD$$ разбивает трапецию на два равнобедренных треугольника: $$\triangle ABD$$ и $$\triangle BCD$$.

1) В равнобедренном треугольнике $$ABD$$:

$$\angle ABD=\angle BDA=\angle A.$$

2) В равнобедренном треугольнике $$BCD$$:

$$\angle DBC=\angle BDC.$$

Сумма углов треугольника $$BCD$$ равна $$180^\circ$$, значит

$$\angle DBC+\angle BDC+\angle BCD=180^\circ.$$

Так как $$\angle DBC=\angle BDC$$ и $$\angle BCD=\angle B$$, получаем

$$2\angle DBC+\angle B=180^\circ,$$

откуда

$$\angle DBC=90^\circ-\frac12\angle B.$$

3) Угол $$B$$ трапеции состоит из двух углов:

$$\angle B=\angle ABD+\angle DBC.$$

Подставим найденные выражения:

$$\angle B=\angle A+90^\circ-\frac12\angle B.$$

Тогда

$$\frac32\angle B=\angle A+90^\circ.$$

Так как в трапеции $$\angle A+\angle B=180^\circ$$, получаем систему:

$$\angle B=\frac23\angle A+60^\circ,$$

$$\angle A+\angle B=180^\circ.$$

Подставим первое равенство во второе:

$$\angle A+\frac23\angle A+60^\circ=180^\circ,$$

$$\frac53\angle A=120^\circ,$$

$$\angle A=72^\circ.$$

Тогда

$$\angle B=\frac23\cdot 72^\circ+60^\circ=108^\circ.$$

Поскольку $$\angle A=\angle D$$ и $$\angle B=\angle C$$, получаем:

$$\angle D=72^\circ,\quad \angle C=108^\circ.$$

Ответ

$$72^\circ,\ 108^\circ,\ 108^\circ,\ 72^\circ.$$