Упр.264 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 264. Диагональ прямоугольной трапеции разбивает её на два треугольника, один из которых является равносторонним со стороной а. Найдите среднюю линию трапеции.

В трапеции $$ABCD$$ углы при основании $$AD$$ и $$BC$$ прямые, значит $$\angle A=\angle B=90^\circ$$. Средняя линия трапеции выражается формулой

$$EF=\frac{1}{2}(AD+BC).$$

По условию треугольник $$ACD$$ равносторонний, а его сторона равна $$a$$. Следовательно,

$$AC=CD=AD=a,$$

и угол

$$\angle DAC=60^\circ.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABC$$. Тогда

$$\angle BAC=\angle A-\angle DAC=90^\circ-60^\circ=30^\circ.$$

В треугольнике $$ABC$$ сторона, лежащая против угла $$30^\circ$$, равна половине гипотенузы, значит

$$BC=\frac{1}{2}AC=\frac{a}{2}.$$

Теперь найдём среднюю линию трапеции:

$$EF=\frac{1}{2}\left(AD+BC\right)=\frac{1}{2}\left(a+\frac{a}{2}\right)=\frac{3}{4}a.$$

Ответ

$$\frac{3}{4}a$$