Упр.263 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 263. Докажите, что если высота равнобокой трапеции равна её средней линии, то диагонали трапеции перпендикулярны.

1) В трапеции $$ABCD$$ отрезок $$BH$$ — высота, значит $$BH \perp AD$$. Так как трапеция равнобокая, то $$AB=CD$$, а также диагонали равны: $$AC=BD$$.

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, поэтому

$$EF=\frac{1}{2}(AD+BC).$$

Пусть $$H$$ — основание высоты $$BH$$ на $$AD$$. Тогда отрезок, соединяющий середины боковых сторон, проходит посередине между основаниями, и потому

$$HD=\frac{1}{2}(AD+BC).$$

Следовательно,

$$BH=EF=HD.$$

2) Рассмотрим треугольник $$BHD$$. Так как $$BH \perp AD$$, а точки $$H$$ и $$D$$ лежат на прямой $$AD$$, то $$\angle BHD=90^\circ$$. Кроме того, $$BH=HD$$, значит треугольник $$BHD$$ равнобедренный, и его углы при основании равны:

$$\angle DBH=\angle BDH.$$

Тогда

$$\angle DBH+\angle BDH+90^\circ=180^\circ,$$

откуда

$$2\angle BDH=90^\circ,\qquad \angle BDH=45^\circ.$$

3) Аналогично рассмотрим треугольник $$AID$$, где $$I$$ — точка пересечения диагоналей. Из равенства соответствующих отрезков получаем, что этот треугольник равнобедренный, а его углы при основании равны $$45^\circ$$. Тогда

$$\angle AID=180^\circ-45^\circ-45^\circ=90^\circ.$$

Значит, диагонали трапеции перпендикулярны:

$$AC \perp BD.$$

Ответ

$$AC \perp BD.$$