Упр.262 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 262. Докажите, что если диагонали равнобокой трапеции перпендикулярны, то её высота равна средней линии трапеции.

Подробный ответ

1) В трапеции $$ABCD$$ отрезок $$EF$$ — средняя линия, значит

$$EF=\frac{1}{2}(AD+BC).$$

Пусть $$BH$$ — высота трапеции, тогда $$BH\perp AD$$. Точка $$H$$ — основание высоты на основании $$AD$$, поэтому

$$HD=\frac{1}{2}(AD+BC).$$

Следовательно,

$$EF=HD.$$

2) Рассмотрим треугольник $$AID$$. Так как диагонали трапеции перпендикулярны, то $$AI\perp BD$$, а значит $$\angle AID=90^\circ$$. Кроме того, трапеция равнобокая, поэтому $$AB=CD$$, и точка $$I$$ лежит на оси симметрии трапеции; отсюда $$AI=DI$$. Значит, $$\triangle AID$$ равнобедренный, и его углы при основании равны:

$$\angle DAI=\angle ADI.$$

Сумма углов треугольника $$AID$$ равна $$180^\circ$$:

$$\angle DAI+\angle ADI+\angle AID=180^\circ,$$

$$\angle ADI+\angle ADI+90^\circ=180^\circ,$$

$$2\angle ADI=90^\circ,$$

$$\angle ADI=45^\circ.$$

3) В прямоугольном треугольнике $$BHD$$ имеем $$\angle BHD=90^\circ$$. Угол $$\angle BDH$$ равен углу между диагональю $$BD$$ и основанием $$AD$$, то есть

$$\angle BDH=45^\circ.$$

Тогда

$$\angle DBH=90^\circ-45^\circ=45^\circ.$$

Следовательно, треугольник $$BHD$$ равнобедренный, поэтому

$$BH=HD.$$

Так как $$HD=EF$$, получаем

$$BH=EF.$$

Что и требовалось доказать.