Упр.261 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 261. Средняя линия трапеции ABCD разбивает её на две трапеции, средние линии которых равны 15 см и 19 см. Найдите основания трапеции ABCD.

Подробный ответ

Обозначим основания трапеции $$ABCD$$ через $$BC$$ и $$AD$$, а среднюю линию всей трапеции — через $$FM$$.

Так как $$FM$$ — средняя линия трапеции $$ABCD$$, то

$$FM=\frac{BC+AD}{2}.$$

Точки $$K$$, $$P$$, $$E$$, $$N$$ — середины боковых сторон, поэтому в верхней трапеции $$FBCM$$ и нижней трапеции $$AFMD$$ отрезки $$KP$$ и $$EN$$ тоже являются средними линиями.

Для трапеции $$FBCM$$ имеем:

$$KP=\frac{FM+BC}{2}.$$

Подставим $$KP=15$$ и обозначим $$FM=x$$:

$$15=\frac{x+BC}{2}.$$

Для трапеции $$AFMD$$ имеем:

$$EN=\frac{AD+FM}{2}.$$

Подставим $$EN=19$$:

$$19=\frac{AD+x}{2}.$$

Теперь найдём $$FM$$ как среднюю линию трапеции $$EKPN$$:

$$FM=\frac{EN+KP}{2}=\frac{19+15}{2}=17.$$

Тогда из формулы для трапеции $$FBCM$$:

$$15=\frac{17+BC}{2},$$