Упр.255 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 255. При каком условии высота равнобокой трапеции равна полуразности оснований?

Пусть в равнобокой трапеции $$ABCD$$ основания $$AD$$ и $$BC$$, а $$BH$$ — высота, причём $$BH \perp AD$$.

Опустим из точки $$B$$ перпендикуляр на основание $$AD$$. Тогда в равнобокой трапеции отрезок $$AH$$ равен половине разности оснований:

$$AH=\frac{1}{2}(AD-BC).$$

По условию $$BH=\frac{1}{2}(AD-BC)$$, значит

$$AH=BH.$$

Следовательно, треугольник $$ABH$$ равнобедренный, поэтому

$$\angle BAH=\angle ABH.$$

Так как $$BH$$ — высота, то

$$\angle AHB=90^\circ.$$

Тогда в треугольнике $$ABH$$:

$$\angle BAH+\angle ABH+\angle AHB=180^\circ,$$

$$\angle BAH+\angle BAH+90^\circ=180^\circ,$$

$$2\angle BAH=90^\circ,$$

$$\angle BAH=45^\circ.$$

Но $$\angle A=\angle BAH$$, значит

$$\angle A=45^\circ.$$

Ответ

$$45^\circ$$