Упр.254 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 254. Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна боковой стороне, а меньшее основание равно боковой стороне. Найдите углы трапеции.

Подробный ответ

Обозначим углы трапеции $$ABCD$$ через $$\angle A, \angle B, \angle C, \angle D$$.

Так как $$ABCD$$ — равнобокая трапеция, то $$BC \parallel AD$$ и $$AB = CD$$, значит, углы при каждом основании равны:

$$\angle A = \angle D,\qquad \angle B = \angle C.$$

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. По условию $$AB = BC$$, значит, он равнобедренный, поэтому

$$\angle BAC = \angle BCA.$$

Так как $$BC \parallel AD$$, а $$AC$$ — секущая, то

$$\angle DAC = \angle BCA = \angle BAC.$$

По условию $$AC \perp CD$$, значит, в треугольнике $$ACD$$ угол при вершине $$C$$ прямой:

$$\angle ACD = 90^\circ.$$

Поскольку $$AB = CD$$, а $$AB = BC$$, то в равнобедренной трапеции можно использовать равенство боковых сторон и свойство углов при основании. Из равенства $$AB = BC$$ и равенства углов в треугольнике $$ABC$$ получаем, что

$$\angle BAD = 2\angle DAC,$$

а значит, в прямоугольном треугольнике $$ACD$$

$$\angle DAC + \angle ADC = 90^\circ.$$

Подставим $$\angle ADC = \angle A = \angle BAD = 2\angle DAC$$:

$$ \angle DAC + 2\angle DAC = 90^\circ \\ 3\angle DAC = 90^\circ \\ \angle DAC = 30^\circ $$

Тогда

$$ \angle A = \angle BAD = 2\angle DAC = 60^\circ, $$

а так как $$\angle A + \angle B = 180^\circ$$, то

$$ \angle B = 180^\circ — 60^\circ = 120^\circ. $$

Из равенства углов трапеции получаем:

$$ \angle C = \angle B = 120^\circ,\qquad \angle D = \angle A = 60^\circ. $$