Упр.253 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 253. В трапеции ABCD диагональ АС перпендикулярна боковой стороне CD и является биссектрисой угла BAD, угол D = 60°, периметр трапеции равен 40 см. Найдите основания трапеции.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ACD$$. Так как $$AC \perp CD$$, то

$$\angle ADC+\angle DAC=90^\circ.$$

По условию $$\angle D=60^\circ$$, значит

$$60^\circ+\angle DAC=90^\circ,$$

откуда

$$\angle DAC=30^\circ.$$

Диагональ $$AC$$ — биссектриса угла $$BAD$$, поэтому

$$\angle BAC=\angle DAC=30^\circ,$$

следовательно,

$$\angle A=2\angle DAC=60^\circ.$$

В трапеции $$ABCD$$ основания параллельны, значит $$BC \parallel AD$$. Тогда при секущей $$AC$$

$$\angle BCA=\angle DAC=30^\circ.$$

В треугольнике $$ABC$$ получаем

$$\angle BAC=\angle BCA,$$

значит, треугольник $$ABC$$ равнобедренный и

$$AB=BC.$$

Кроме того, в трапеции с равными углами при основании $$\angle A=\angle D$$, поэтому трапеция равнобедренная и

$$AB=CD.$$

Следовательно,

$$AB=BC=CD.$$

Обозначим $$CD=x$$. Тогда $$AB=x$$, $$BC=x$$, а из прямоугольного треугольника $$ACD$$ при $$\angle D=60^\circ$$ получаем

$$AD=2CD=2x.$$

Периметр трапеции равен

$$P_{ABCD}=AB+BC+CD+AD,$$

значит

$$x+x+x+2x=40,$$

$$5x=40,$$

$$x=8.$$

Тогда

$$CD=8\text{ см}, \qquad AD=16\text{ см}.$$

Ответ

$$8\text{ см};\ 16\text{ см}.$$