Упр.252 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 252. Стороны трапеции равны а, а, а и 2a. Найдите углы трапеции.

Опустим перпендикуляр $$BH \perp AD$$.

Так как $$ABCD$$ — трапеция, то $$BC \parallel AD$$, а по условию $$AB=BC=CD=a$$, $$AD=2a$$. Следовательно, трапеция равнобедренная, значит, $$\angle A=\angle D$$ и $$\angle B=\angle C$$.

Найдём отрезок $$AH$$:

$$AH=\frac{1}{2}(AD-BC)=\frac{1}{2}(2a-a)=\frac{a}{2}.$$

В прямоугольном треугольнике $$ABH$$ имеем $$AB=a$$, $$AH=\frac{a}{2}$$, поэтому

$$\cos \angle BAH=\frac{AH}{AB}=\frac{1}{2},$$

откуда

$$\angle BAH=60^\circ.$$

Тогда

$$\angle A=60^\circ.$$

Смежные углы при параллельных прямых $$BC \parallel AD$$ дополняют друг друга до $$180^\circ$$, значит

$$\angle B=180^\circ-\angle A=180^\circ-60^\circ=120^\circ.$$

Так как трапеция равнобедренная, то

$$\angle C=\angle B=120^\circ,\qquad \angle D=\angle A=60^\circ.$$

Ответ

$$60^\circ,\ 120^\circ,\ 120^\circ,\ 60^\circ.$$