Упр.25 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 25. Докажите, что если биссектрисы двух противолежащих углов выпуклого четырёхугольника параллельны или лежат на одной прямой, то два других угла четырёхугольника равны.

Обозначим углы четырёхугольника $$ABCD$$ через $$\angle A$$, $$\angle B$$, $$\angle C$$ и $$\angle D$$.

Так как $$BE$$ — биссектриса угла $$B$$, а $$DF$$ — биссектриса угла $$D$$, то

$$\angle ABE=\angle CBE=\frac{1}{2}\angle B,$$

$$\angle ADF=\angle CDF=\frac{1}{2}\angle D.$$

Рассмотрим прямые $$BE$$ и $$DF$$ и секущую $$AD$$. Тогда

$$\angle BEA=\angle FDE=\frac{1}{2}\angle D.$$

В треугольнике $$ABE$$ имеем:

$$\angle ABE+\angle BEA+\angle BAE=180^\circ,$$

откуда

$$\frac{1}{2}\angle B+\frac{1}{2}\angle D+\angle A=180^\circ,$$

$$\angle A=180^\circ-\frac{1}{2}\angle B-\frac{1}{2}\angle D.$$

Теперь рассмотрим прямые $$BE$$ и $$DF$$ и секущую $$BC$$. Тогда

$$\angle DFC=\angle EBF=\frac{1}{2}\angle B.$$

В треугольнике $$DCF$$:

$$\angle DCF+\angle CFD+\angle CDF=180^\circ,$$

то есть

$$\angle C+\frac{1}{2}\angle B+\frac{1}{2}\angle D=180^\circ,$$

откуда

$$\angle C=180^\circ-\frac{1}{2}\angle B-\frac{1}{2}\angle D.$$

Следовательно,

$$\angle A=\angle C.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$\angle A=\angle C.$$