Упр.249 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 249. Высота равнобокой трапеции равна h, а боковая сторона видна из точки пересечения диагоналей под углом 60°. Найдите диагональ трапеции.

В равнобокой трапеции диагонали равны, а точка их пересечения лежит на оси симметрии, поэтому $$AO=DO$$ и $$AC=BD$$.

Рассмотрим треугольник $$AOD$$. Он равнобедренный, значит $$\angle OAD=\angle ODA$$.

Так как точки $$B, O, D$$ лежат на одной прямой, то

$$\angle AOD=180^\circ-\angle AOB=180^\circ-60^\circ=120^\circ.$$

Тогда в треугольнике $$AOD$$:

$$ \angle OAD+\angle ODA+\angle AOD=180^\circ $$
$$ \angle OAD+\angle ODA=60^\circ $$
$$ 2\angle ODA=60^\circ $$
$$ \angle ODA=30^\circ. $$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$BDH$$. Здесь $$BH$$ — высота трапеции, значит $$BH\perp AD$$, а угол при вершине $$D$$ равен $$30^\circ$$. Следовательно, треугольник $$BDH$$ — треугольник с углом $$30^\circ$$, и его гипотенуза вдвое больше катета, лежащего против угла $$30^\circ$$:

$$BD=2BH=2h.$$

Так как в равнобокой трапеции диагонали равны, то

$$AC=BD=2h.$$

Ответ

$$AC=BD=2h.$$