Упр.249 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)
- Высота равнобокой трапеции равна $$h$$, а боковая сторона видна из точки пересечения диагоналей под углом $$60^\circ$$. Найдите диагональ трапеции.
В равнобокой трапеции диагонали равны, а точка их пересечения лежит на оси симметрии, поэтому $$AO=DO$$ и $$AC=BD$$.
Рассмотрим треугольник $$AOD$$. Он равнобедренный, значит $$\angle OAD=\angle ODA$$.
Так как точки $$B, O, D$$ лежат на одной прямой, то
$$\angle AOD=180^\circ-\angle AOB=180^\circ-60^\circ=120^\circ.$$
Тогда в треугольнике $$AOD$$:
$$\angle OAD+\angle ODA+\angle AOD=180^\circ$$
$$\angle OAD+\angle ODA=60^\circ$$
$$2\angle ODA=60^\circ$$
$$\angle ODA=30^\circ.$$
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$BDH$$. Здесь $$BH$$ — высота трапеции, значит $$BH\perp AD$$, а угол при вершине $$D$$ равен $$30^\circ$$. Следовательно, треугольник $$BDH$$ — треугольник с углом $$30^\circ$$, и его гипотенуза вдвое больше катета, лежащего против угла $$30^\circ$$:
$$BD=2BH=2h.$$
Так как в равнобокой трапеции диагонали равны, то
$$AC=BD=2h.$$
Ответ
$$AC=BD=2h.$$
