Упр.248 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 248. Диагонали равнобокой трапеции ABCD (АВ = CD) пересекаются в точке О. Докажите, что АО = OD и ВО = ОС.

Подробный ответ

Рассмотрим треугольники $$ABD$$ и $$DCA$$. В равнобокой трапеции $$ABCD$$ боковые стороны равны, значит $$AB=CD$$. Кроме того, углы при основании равны: $$\angle BAD=\angle CDA$$, а сторона $$AD$$ — общая.

Следовательно, $$\triangle ABD \cong \triangle DCA$$ по первому признаку равенства треугольников. Тогда соответствующие диагонали равны:

$$BD=AC.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$AOD$$. Так как точки $$O$$ лежит на диагонали $$BD$$, а диагонали пересекаются, то из равенства треугольников получаем равенство углов:

$$\angle DAO=\angle ADO.$$

Значит, $$\triangle AOD$$ равнобедренный, и потому

$$AO=OD.$$

Аналогично для треугольника $$BOC$$: поскольку $$BD=AC$$ и $$AO=OD$$, то

$$BO=BD-OD,\qquad OC=AC-AO.$$

Так как $$BD=AC$$ и $$OD=AO$$, получаем

$$BO=OC.$$

Итак, $$AO=OD$$ и $$BO=OC$$.