Упр.240 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 240. Через вершину С трапеции ABCD проведена прямая, которая параллельна боковой стороне АВ и пересекает большее основание AD в точке Е. Найдите углы трапеции, если угол D = 85°, угол DCE = 65°.

Подробный ответ

Так как $$ABCD$$ — трапеция, то $$BC \parallel AD$$. По условию через точку $$C$$ проведена прямая $$CE$$, причём $$CE \parallel AB$$.

Рассмотрим треугольник $$DCE$$. В нём

$$\angle DCE + \angle DEC + \angle CDE = 180^\circ.$$

Так как $$E \in AD$$, то луч $$DE$$ лежит на прямой $$AD$$, значит $$\angle CDE = \angle D = 85^\circ$$. Тогда

$$65^\circ + \angle DEC + 85^\circ = 180^\circ,$$

откуда

$$\angle DEC = 30^\circ.$$

Теперь рассмотрим четырёхугольник $$BCEA$$. Здесь $$BC \parallel AE$$, так как $$BC \parallel AD$$ и точки $$A, E, D$$ лежат на одной прямой, а также $$AB \parallel CE$$ по условию. Значит, $$BCEA$$ — параллелограмм.

В параллелограмме противоположные углы равны, поэтому

$$\angle B = \angle E = \angle DEC = 30^\circ.$$

Соседние углы параллелограмма дополняют друг друга до $$180^\circ$$, значит

$$\angle A = 180^\circ — 30^\circ = 150^\circ.$$

Противоположные углы параллелограмма равны, следовательно

$$\angle C = \angle A = 150^\circ.$$

Осталось найти угол $$\angle BCD$$. Он состоит из углов $$\angle BCE$$ и $$\angle ECD$$:

$$\angle BCD = \angle BCE + \angle ECD.$$

Так как $$BC \parallel AE$$ и $$CE \parallel AB$$, то $$\angle BCE = \angle A = 150^\circ$$? Нет, здесь удобнее заметить, что угол между прямыми $$BC$$ и $$CE$$ равен углу между $$AD$$ и $$AB$$, то есть $$\angle BCE = \angle A = 150^\circ$$, а тогда сумма с $$\angle ECD$$ не подходит для внутреннего угла при вершине $$C$$. Поэтому берём внутренний угол трапеции при вершине $$C$$ как угол между лучами $$CB$$ и $$CD$$:

$$\angle BCD = 180^\circ — \angle BCE + \angle DCE.$$

Но проще воспользоваться суммой углов четырёхугольника $$ABCD$$:

$$\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ.$$

Подставим найденные значения:

$$150^\circ + 30^\circ + \angle C + 85^\circ = 360^\circ,$$

откуда

$$\angle C = 95^\circ.$$

Тогда

$$\angle B = 30^\circ,\qquad \angle A = 150^\circ,\qquad \angle D = 85^\circ.$$