Упр.24 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 24. В четырёхугольнике ABCD известно, что угол A = угол C = 90°. Докажите, что биссектрисы двух других углов четырёхугольника либо параллельны, либо лежат на одной прямой.

1) В четырёхугольнике $$ABCD$$ сумма углов равна $$360^\circ$$, поэтому

$$\angle A+\angle B+\angle C+\angle D=360^\circ.$$

Так как $$\angle A=\angle C=90^\circ$$, то

$$90^\circ+\angle B+90^\circ+\angle D=360^\circ,$$

откуда

$$\angle D=180^\circ-\angle B.$$

Поскольку $$BE$$ и $$DF$$ — биссектрисы, имеем

$$\angle ABE=\frac12\angle B,\qquad \angle ADF=\frac12\angle D.$$

2) Рассмотрим прямоугольный треугольник $$BAE$$. В нём

$$\angle ABE+\angle BEA=90^\circ,$$

значит

$$\angle BEA=90^\circ-\angle ABE.$$

3) Углы $$\angle BED$$ и $$\angle BEA$$ — смежные, поэтому

$$\angle BED+\angle BEA=180^\circ.$$

Тогда

$$\angle BED=180^\circ-\angle BEA=180^\circ-\left(90^\circ-\angle ABE\right)=90^\circ+\angle ABE.$$

4) Теперь найдём сумму углов, образованных прямыми $$BE$$ и $$DF$$ с секущей $$ED$$:

$$\angle BED+\angle EDF=\left(90^\circ+\angle ABE\right)+\angle EDF.$$

Так как $$\angle EDF=\frac12\angle D$$, а $$\angle ABE=\frac12\angle B$$, то

$$\angle BED+\angle EDF=90^\circ+\frac12\angle B+\frac12\angle D.$$

Подставим $$\angle D=180^\circ-\angle B$$:

$$90^\circ+\frac12\angle B+\frac12\left(180^\circ-\angle B\right)=180^\circ.$$

Следовательно, внутренние односторонние углы при прямых $$BE$$ и $$DF$$ и секущей $$ED$$ в сумме дают $$180^\circ$$, значит

$$BE \parallel DF.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$BE \parallel DF.$$