Упр.237 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

1. В трапеции $$ABCD$$ известно, что $$AB=CD$$, $$\angle BAC=20^\circ$$, $$\angle CAD=50^\circ$$. Найдите углы $$\angle ACB$$ и $$\angle ACD$$.

В трапеции $$ABCD$$ основания параллельны: $$AD \parallel BC$$. Так как $$AB = CD$$, то трапеция равнобедренная, значит, углы при каждом основании равны:

$$\angle A = \angle D,\qquad \angle B = \angle C.$$

Проведём диагональ $$AC$$.

1) Так как $$AD \parallel BC$$, а $$AC$$ — секущая, то

$$\angle ACB = \angle CAD = 50^\circ.$$

2) Угол $$A$$ состоит из двух углов:

$$\angle A = \angle BAC + \angle CAD = 20^\circ + 50^\circ = 70^\circ.$$

В трапеции суммы односторонних углов при секущей $$AB$$ равны $$180^\circ$$:

$$\angle DAB + \angle ABC = 180^\circ,$$

то есть

$$70^\circ + \angle ABC = 180^\circ,$$

откуда

$$\angle ABC = 110^\circ.$$

3) Так как $$\angle B = \angle C$$, то

$$\angle BCD = 110^\circ.$$

Угол $$BCD$$ разбивается диагональю $$AC$$ на два угла:

$$\angle BCD = \angle ACB + \angle ACD.$$

Тогда

$$110^\circ = 50^\circ + \angle ACD,$$

откуда

$$\angle ACD = 60^\circ.$$

Ответ

$$\angle ACB = 50^\circ,\qquad \angle ACD = 60^\circ.$$