Упр.231 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 231. Докажите, что сумма противолежащих углов равнобокой трапеции равна 180°. Верно ли обратное утверждение: если сумма противолежащих углов трапеции равна 180°, то данная трапеция равнобокая?

1) Пусть в трапеции $$ABCD$$ основания $$AD$$ и $$BC$$, тогда $$AD \parallel BC$$. Для секущей $$AB$$ имеем:

$$\angle DAB+\angle ABC=180^\circ.$$

Для секущей $$CD$$:

$$\angle ADC+\angle DCB=180^\circ.$$

В равнобокой трапеции $$ABCD$$ боковые стороны равны, то есть $$AB=CD$$, а также равны углы при каждом основании:

$$\angle A=\angle D,\qquad \angle B=\angle C.$$

Из суммы внутренних односторонних углов при параллельных прямых следует, что

$$\angle A+\angle B=180^\circ.$$

Так как $$\angle B=\angle C$$, получаем:

$$\angle A+\angle C=180^\circ.$$

Аналогично:

$$\angle B+\angle D=180^\circ.$$

Следовательно, сумма противолежащих углов равнобокой трапеции равна $$180^\circ$$.

2) Докажем обратное утверждение. Пусть в трапеции $$ABCD$$ выполнено:

$$\angle A+\angle C=180^\circ.$$

Так как $$AD \parallel BC$$, то для секущей $$AB$$:

$$\angle DAB+\angle ABC=180^\circ.$$

Из условия и равенства $$\angle A=\angle DAB$$, $$\angle C=\angle DCB$$ получаем:

$$\angle DAB+\angle DCB=180^\circ.$$

Тогда

$$\angle ABC=180^\circ-\angle DAB,$$

$$\angle DCB=180^\circ-\angle DAB,$$

значит,

$$\angle ABC=\angle DCB.$$

Следовательно, трапеция равнобокая, то есть

$$AB=CD.$$

Итак, обратное утверждение верно.

Ответ

Да, сумма противолежащих углов равнобокой трапеции равна $$180^\circ$$. Обратное утверждение тоже верно: если сумма противолежащих углов трапеции равна $$180^\circ$$, то эта трапеция равнобокая.