Упр.230 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 230. Докажите, что если углы при одном из оснований трапеции равны, то данная трапеция является равнобокой.

Подробный ответ

Построим высоты трапеции $$ABCD$$: $$BH \perp AD$$ и $$CE \perp AD$$.

Тогда в четырёхугольнике $$BCEH$$ все углы прямые: $$\angle B = \angle C = \angle E = \angle H = 90^\circ$$. Значит, $$BCEH$$ — прямоугольник, поэтому его противоположные стороны равны:

$$BH = CE.$$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$ABH$$ и $$DCE$$. По условию $$\angle A = \angle D$$, а значит

$$\angle BAH = \angle CDE.$$

Кроме того,

$$\angle AHB = \angle DEC = 90^\circ.$$

Следовательно, $$\triangle ABH \cong \triangle DCE$$ по катету и прилежащему острому углу. Отсюда

$$AB = CD.$$

Значит, боковые стороны трапеции равны, то есть трапеция $$ABCD$$ равнобокая.