Упр.228 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

1) три прямых угла;
2) три острых угла;
3) два противолежащих угла тупыми;
4) два противолежащих угла прямыми;
5) два противолежащих угла равными?

Подробный ответ

Пусть $$ABCD$$ — трапеция, причём $$AD \parallel BC$$. Тогда суммы односторонних углов при секущих равны $$180^\circ$$:

$$\angle A+\angle B=180^\circ,\qquad \angle C+\angle D=180^\circ.$$

1) Три прямых угла. Если три угла равны $$90^\circ$$, то четвёртый тоже равен

$$360^\circ-90^\circ-90^\circ-90^\circ=90^\circ.$$

Получается четырёхугольник с четырьмя прямыми углами, то есть прямоугольник, а не трапеция в обычном смысле. Значит, нет.

2) Три острых угла. Если бы три угла были острыми, то, например, $$\angle A<90^\circ$$ и $$\angle B<90^\circ$$, значит

$$\angle A+\angle B<180^\circ,$$

что противоречит свойству трапеции $$\angle A+\angle B=180^\circ$$. Следовательно, нет.

3) Два противолежащих угла тупыми. Это возможно. Например, если $$\angle A>90^\circ$$ и $$\angle C>90^\circ$$, то можно построить трапецию с такими углами. Значит, да.

4) Два противолежащих угла прямыми. Если $$\angle A=\angle C=90^\circ$$, то из равенств

$$\angle A+\angle B=180^\circ,\qquad \angle C+\angle D=180^\circ$$

получаем

$$\angle B=90^\circ,\qquad \angle D=90^\circ.$$

Тогда все четыре угла прямые, что невозможно для трапеции. Значит, нет.

5) Два противолежащих угла равными. Пусть $$\angle A=\angle C$$. Тогда из свойств трапеции

$$\angle B=180^\circ-\angle A,\qquad \angle D=180^\circ-\angle C.$$

Так как $$\angle A=\angle C$$, то и $$\angle B=\angle D$$. В итоге получаем, что трапеция должна быть параллелограммом, а не трапецией. Значит, нет.