Упр.214 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 214. Диагональ BD параллелограмма ABCD является его высотой и равна стороне ВС. Найдите сторону CD параллелограмма, если точка В удалена от прямой CD на 4 см.

Подробный ответ

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$DBC$$. Так как $$BD$$ — высота параллелограмма, то $$BD \perp AD$$, а значит, $$BD \perp DC$$ и $$\angle BDC=90^\circ$$. По условию $$BD=BC$$, следовательно, $$\triangle DBC$$ — равнобедренный прямоугольный, поэтому его острые углы равны:

$$\angle BCD=\angle BDC?$$

Но в прямоугольном равнобедренном треугольнике острые углы равны по $$45^\circ$$, значит $$\angle BCD=45^\circ$$.

Пусть $$H$$ — основание перпендикуляра из точки $$B$$ на прямую $$CD$$. Тогда $$BH \perp CD$$ и по условию $$BH=4$$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$CBH$$. Угол при $$C$$ равен $$\angle BCH=\angle BCD=45^\circ$$, значит второй острый угол тоже равен $$45^\circ$$. Следовательно, $$\triangle CBH$$ — равнобедренный, и потому

$$CH=BH=4$$ см.

Так как $$\triangle DBC$$ равнобедренный, то высота $$BH$$, опущенная на основание $$CD$$, является также медианой. Значит,

$$CH=HD=4$$ см,

откуда

$$CD=CH+HD=4+4=8$$ см.