Упр.214 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)
- Диагональ $$BD$$ параллелограмма $$ABCD$$ является его высотой и равна стороне $$BC$$. Найдите сторону $$CD$$ параллелограмма, если точка $$B$$ удалена от прямой $$CD$$ на $$4\ \text{см}$$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $$DBC$$. Так как $$BD$$ — высота параллелограмма, то $$BD \perp AD$$, а значит, $$BD \perp DC$$ и $$\angle BDC=90^\circ$$. По условию $$BD=BC$$, следовательно, $$\triangle DBC$$ — равнобедренный прямоугольный, поэтому его острые углы равны:
$$\angle BCD=\angle BDC?$$
Но в прямоугольном равнобедренном треугольнике острые углы равны по $$45^\circ$$, значит $$\angle BCD=45^\circ$$.
Пусть $$H$$ — основание перпендикуляра из точки $$B$$ на прямую $$CD$$. Тогда $$BH \perp CD$$ и по условию $$BH=4$$ см.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $$CBH$$. Угол при $$C$$ равен $$\angle BCH=\angle BCD=45^\circ$$, значит второй острый угол тоже равен $$45^\circ$$. Следовательно, $$\triangle CBH$$ — равнобедренный, и потому
$$CH=BH=4$$ см.
Так как $$\triangle DBC$$ равнобедренный, то высота $$BH$$, опущенная на основание $$CD$$, является также медианой. Значит,
$$CH=HD=4$$ см,
откуда
$$CD=CH+HD=4+4=8$$ см.
Ответ
$$8$$ см.
