Упр.212 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 212. К окружности с центром О через точку С проведены касательные СА и СВ (А и В — точки касания). Отрезок AD — диаметр окружности. Докажите, что BD параллельна СО.

Подробный ответ

1) В данной окружности $$OA=OB=OD=R$$ как радиусы. Кроме того, $$CA$$ и $$CB$$ — касательные, значит

$$OA \perp AC,\qquad OB \perp BC.$$

2) Рассмотрим треугольники $$\triangle OAC$$ и $$\triangle OBC$$. У них

$$\angle OAC=\angle OBC=90^\circ,$$

$$OC$$ — общая сторона, $$OA=OB.$$

Следовательно, $$\triangle OAC \cong \triangle OBC$$ по гипотенузе и катету. Тогда

$$\angle AOC=\angle BOC=x.$$

3) Треугольник $$DOB$$ равнобедренный, так как $$OD=OB$$. Поэтому

$$\angle BDO=\angle OBD.$$

Найдём угол $$\angle BOD$$:

$$\angle BOD=180^\circ-\angle AOC-\angle BOC=180^\circ-2x.$$

В треугольнике $$DOB$$:

$$\angle BDO+\angle OBD+\angle BOD=180^\circ.$$

Так как $$\angle BDO=\angle OBD$$, получаем

$$2\angle BDO+180^\circ-2x=180^\circ,$$

откуда

$$2\angle BDO=2x,\qquad \angle BDO=x.$$

4) Прямая $$AD$$ — диаметр, значит точки $$A, O, D$$ лежат на одной прямой. Тогда

$$\angle BDA=\angle BDO=x.$$

Но $$\angle COA=x$$, следовательно, углы $$\angle BDA$$ и $$\angle COA$$ равны. Это накрест лежащие углы при секущей $$AD$$ и прямых $$BD$$ и $$OC$$, значит

$$BD \parallel OC.$$