Упр.211 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 211. Стороны АВ и CD выпуклого четырёхугольника ABCD равны. Через середины диагоналей АС и BD проведена прямая, которая пересекает стороны АВ и CD в точках М и N соответственно. Докажите, что угол BMN = угол CNM.

Подробный ответ

Обозначим через $$E$$ и $$K$$ середины диагоналей $$AC$$ и $$BD$$ соответственно. Тогда по условию прямая $$MN$$ проходит через точки $$E$$ и $$K$$.

Проведём точку $$F$$ так, чтобы $$F$$ была серединой отрезка $$BC$$. Тогда в треугольнике $$ABC$$ точки $$E$$ и $$F$$ — середины сторон $$AC$$ и $$BC$$, значит, $$EF$$ — средняя линия треугольника $$ABC$$. Следовательно,

$$EF \parallel AB,\qquad EF=\frac12 AB.$$

Аналогично, в треугольнике $$DCB$$ точки $$K$$ и $$F$$ — середины сторон $$BD$$ и $$BC$$, значит, $$KF$$ — средняя линия треугольника $$DCB$$. Поэтому

$$KF \parallel CD,\qquad KF=\frac12 CD.$$

Так как по условию $$AB=CD$$, то

$$EF=\frac12 AB=\frac12 CD=KF.$$

Следовательно, треугольник $$EFK$$ равнобедренный, значит, его углы при основании равны:

$$\angle FEK=\angle FKE.$$

Теперь рассмотрим прямую $$MN$$, которая проходит через точки $$E$$ и $$K$$.

Поскольку $$AB \parallel EF$$, то угол между прямыми $$BM$$ и $$MN$$ равен углу между $$EF$$ и $$EK$$, то есть

$$\angle BMN=\angle FEK.$$

А так как $$CD \parallel FK$$, то

$$\angle CNM=\angle FKE.$$

Но $$\angle FEK=\angle FKE$$, значит,

$$\angle BMN=\angle CNM.$$