Упр.210 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 210. Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD перпендикулярны. Через середины сторон АВ и AD проведены прямые, перпендикулярные соответственно сторонам DC и ВС. Докажите, что точка пересечения проведённых прямых принадлежит прямой АС.

Подробный ответ

Отметим точку $$F$$ на прямой $$AC$$ так, чтобы $$AF=CF$$.

Рассмотрим треугольник $$ABD$$. Так как $$AM=BM$$ и $$AK=DK$$, то точки $$M$$ и $$K$$ — середины сторон $$AB$$ и $$AD$$. Следовательно, отрезок $$MK$$ является средней линией треугольника $$ABD$$, значит

$$MK \parallel BD.$$

Рассмотрим треугольник $$DAC$$. Так как $$AK=DK$$ и $$AF=CF$$, то точки $$K$$ и $$F$$ — середины сторон $$AD$$ и $$AC$$. Следовательно, отрезок $$KF$$ — средняя линия треугольника $$DAC$$, значит

$$KF \parallel CD.$$

Рассмотрим треугольник $$BAC$$. Так как $$AM=BM$$ и $$AF=CF$$, то точки $$M$$ и $$F$$ — середины сторон $$AB$$ и $$AC$$. Следовательно, отрезок $$MF$$ — средняя линия треугольника $$BAC$$, значит

$$MF \parallel BC.$$

Теперь в треугольнике $$MKF$$ имеем:

$$AC \perp BD,$$

а так как $$MK \parallel BD,$$ то $$AC \perp MK.$$

Кроме того, $$KH \perp BC$$ и $$MF \parallel BC,$$ значит $$KH \perp MF.$$

Также $$MT \perp CD$$ и $$KF \parallel CD,$$ значит $$MT \perp KF.$$

Следовательно, $$AC$$, $$KH$$ и $$MT$$ — высоты треугольника $$MKF$$. Они пересекаются в одной точке $$E$$, значит

$$E \in AC.$$