Упр.21 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 21. В треугольнике АВС известно, что угол A = 36°, угол В = 72°. Высоты AE и BF треугольника пересекаются в точке H. Найдите углы четырёхугольника: 1) CFHE; 2) ACBH.

В треугольнике $$ABC$$:

$$\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ,$$

$$36^\circ+72^\circ+\angle C=180^\circ,$$

$$\angle C=72^\circ.$$

Так как $$AE$$ и $$BF$$ — высоты, то $$AE\perp BC$$ и $$BF\perp AC$$. Значит, в прямоугольном треугольнике $$ABF$$:

$$\angle A+\angle ABF=90^\circ,$$

$$36^\circ+\angle ABF=90^\circ,$$

$$\angle ABF=54^\circ.$$

В прямоугольном треугольнике $$ABE$$:

$$\angle A+\angle ABE=90^\circ,$$

$$\angle A+72^\circ=90^\circ,$$

$$\angle A=18^\circ.$$

1) В четырёхугольнике $$CFHE$$ сумма углов равна $$360^\circ$$:

$$\angle C+\angle F+\angle H+\angle E=360^\circ,$$

$$72^\circ+90^\circ+\angle H+90^\circ=360^\circ,$$

$$\angle H=108^\circ.$$

Следовательно, углы четырёхугольника $$CFHE$$ равны $$72^\circ, 90^\circ, 90^\circ, 108^\circ$$.

2) В четырёхугольнике $$ACBH$$:

$$\angle A=36^\circ-18^\circ=18^\circ,$$

$$\angle B=72^\circ-54^\circ=18^\circ.$$

Тогда

$$\angle A+\angle C+\angle B+\angle H=360^\circ,$$

$$18^\circ+72^\circ+18^\circ+\angle H=360^\circ,$$

$$\angle H=252^\circ.$$

Следовательно, углы четырёхугольника $$ACBH$$ равны $$18^\circ, 72^\circ, 18^\circ, 252^\circ$$.

Ответ

1) $$72^\circ, 90^\circ, 90^\circ, 108^\circ$$; 2) $$18^\circ, 72^\circ, 18^\circ, 252^\circ$$.