Упр.207 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 207. Углы BAD и ВСЕ — внешние углы треугольника АВС. Из вершины В проведены перпендикуляры ВМ и ВК к биссектрисам углов BAD и ВСЕ соответственно. Найдите отрезок МК, если периметр треугольника АВС равен 18 см.

Подробный ответ

Обозначим точки пересечения перпендикуляров с прямой $$AC$$: $$BM \cap AC = P$$, $$BK \cap AC = N$$.

Рассмотрим треугольник $$BAP$$. Так как $$AM$$ — биссектриса угла $$BAD$$ и одновременно $$BM \perp AM$$, то $$AM$$ является и высотой, и биссектрисой треугольника $$BAP$$. Значит, треугольник $$BAP$$ равнобедренный, поэтому $$PA=AB$$, а $$AM$$ — медиана. Следовательно, $$BM=PM$$.

Аналогично в треугольнике $$BCN$$: $$CK$$ — биссектриса и высота, значит, $$BCN$$ равнобедренный, поэтому $$CN=BC$$, а $$CK$$ — медиана. Следовательно, $$BK=NK$$.

Теперь рассмотрим треугольник $$PBN$$. В нём точки $$M$$ и $$K$$ — середины сторон $$PB$$ и $$BN$$, значит, $$MK$$ — средняя линия треугольника $$PBN$$. Тогда

$$MK=\frac{1}{2}PN.$$

Но

$$PN=PA+AC+CN=AB+AC+BC=P_{ABC}.$$

Следовательно,

$$MK=\frac{1}{2}P_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 18=9.$$