Упр.207 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)
- Углы $$\angle BAD$$ и $$\angle ВСЕ$$ — внешние углы треугольника $$АВС$$. Из вершины $$В$$ проведены перпендикуляры $$ВМ$$ и $$ВК$$ к биссектрисам углов $$BAD$$ и $$ВСЕ$$ соответственно. Найдите отрезок $$МК$$, если периметр треугольника $$АВС$$ равен $$18\ \text{см}$$.
Обозначим точки пересечения перпендикуляров с прямой $$AC$$: $$BM \cap AC = P$$, $$BK \cap AC = N$$.
Рассмотрим треугольник $$BAP$$. Так как $$AM$$ — биссектриса угла $$BAD$$ и одновременно $$BM \perp AM$$, то $$AM$$ является и высотой, и биссектрисой треугольника $$BAP$$. Значит, треугольник $$BAP$$ равнобедренный, поэтому $$PA=AB$$, а $$AM$$ — медиана. Следовательно, $$BM=PM$$.
Аналогично в треугольнике $$BCN$$: $$CK$$ — биссектриса и высота, значит, $$BCN$$ равнобедренный, поэтому $$CN=BC$$, а $$CK$$ — медиана. Следовательно, $$BK=NK$$.
Теперь рассмотрим треугольник $$PBN$$. В нём точки $$M$$ и $$K$$ — середины сторон $$PB$$ и $$BN$$, значит, $$MK$$ — средняя линия треугольника $$PBN$$. Тогда
$$MK=\frac{1}{2}PN.$$
Но
$$PN=PA+AC+CN=AB+AC+BC=P_{ABC}.$$
Следовательно,
$$MK=\frac{1}{2}P_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 18=9.$$
Ответ
$$9\text{ см}$$
