Упр.206 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

1. На сторонах $$AB$$ и $$BC$$ треугольника $$ABC$$ отмечены соответственно точки $$M$$ и $$K$$ так, что $$AM = 3BM$$, $$CK = 3BK$$. Докажите, что $$MK \parallel AC$$, и найдите отрезок $$MK$$, если $$AC = 16\text{ см}$$.

Отметим на сторонах $$AB$$ и $$BC$$ точки $$E$$ и $$F$$ так, что $$AE=BE$$ и $$CF=BF$$.

Тогда в треугольнике $$ABC$$ отрезок $$EF$$ соединяет середины двух сторон, значит, $$EF$$ — средняя линия треугольника. Следовательно,

$$EF \parallel AC,$$

$$EF=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\cdot 16=8\text{ см}.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$EBF$$. Из условий $$AM=3BM$$ и $$CK=3BK$$ получаем:

$$AB=AM+BM=4BM,$$

откуда

$$BM=\frac{1}{4}AB.$$

Так как $$E$$ — середина $$AB$$, то

$$EB=\frac{1}{2}AB,$$

значит,

$$BM=\frac{1}{2}EB.$$

Аналогично

$$BC=BK+CK=4BK,$$

откуда

$$BK=\frac{1}{4}BC,$$

и, поскольку $$F$$ — середина $$BC$$, имеем

$$BF=\frac{1}{2}BC,$$

значит,

$$BK=\frac{1}{2}BF.$$

Следовательно, точки $$M$$ и $$K$$ — середины сторон $$EB$$ и $$BF$$ треугольника $$EBF$$. Тогда $$MK$$ — средняя линия этого треугольника, поэтому

$$MK=\frac{1}{2}EF=\frac{1}{2}\cdot 8=4\text{ см}.$$

Кроме того, как средняя линия треугольника $$EBF$$, отрезок $$MK$$ параллелен $$EF$$, а значит, и $$AC$$:

$$MK \parallel EF \parallel AC.$$

Ответ

$$MK \parallel AC,\quad MK=4\text{ см}.$$