Упр.206 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 206. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС отмечены соответственно точки М и К так, что АМ = 3ВМ, СК = 3ВК. Докажите, что МК параллельна АС, и найдите отрезок МК, если АС = 16 см.
Отметим на сторонах $$AB$$ и $$BC$$ точки $$E$$ и $$F$$ так, что $$AE=BE$$ и $$CF=BF$$.
Тогда в треугольнике $$ABC$$ отрезок $$EF$$ соединяет середины двух сторон, значит, $$EF$$ — средняя линия треугольника. Следовательно,
$$EF \parallel AC,$$
$$EF=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\cdot 16=8\text{ см}.$$
Теперь рассмотрим треугольник $$EBF$$. Из условий $$AM=3BM$$ и $$CK=3BK$$ получаем:
$$AB=AM+BM=4BM,$$
откуда
$$BM=\frac{1}{4}AB.$$
Так как $$E$$ — середина $$AB$$, то
$$EB=\frac{1}{2}AB,$$
значит,
$$BM=\frac{1}{2}EB.$$
Аналогично
$$BC=BK+CK=4BK,$$
откуда
$$BK=\frac{1}{4}BC,$$
и, поскольку $$F$$ — середина $$BC$$, имеем
$$BF=\frac{1}{2}BC,$$
значит,
$$BK=\frac{1}{2}BF.$$
Следовательно, точки $$M$$ и $$K$$ — середины сторон $$EB$$ и $$BF$$ треугольника $$EBF$$. Тогда $$MK$$ — средняя линия этого треугольника, поэтому
$$MK=\frac{1}{2}EF=\frac{1}{2}\cdot 8=4\text{ см}.$$
Кроме того, как средняя линия треугольника $$EBF$$, отрезок $$MK$$ параллелен $$EF$$, а значит, и $$AC$$:
$$MK \parallel EF \parallel AC.$$
Ответ
$$MK \parallel AC,\quad MK=4\text{ см}.$$