Упр.205 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 205. Докажите, что вершины треугольника равноудалены от прямой, на которой лежит его средняя линия.

В треугольнике $$ABC$$ отрезок $$EF$$ — средняя линия, значит точки $$E$$ и $$F$$ являются серединами сторон $$AB$$ и $$BC$$ соответственно. Поэтому

$$AE=BE,\qquad CF=BF.$$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$AA’E$$ и $$BB’E$$. Имеем:

$$\angle AA’E=\angle BB’E=90^\circ,$$

$$\angle AEA’=\angle BEB’$$ — вертикальные углы,

$$AE=BE.$$

Следовательно, $$\triangle AA’E \cong \triangle BB’E$$ по гипотенузе и острому углу. Отсюда

$$AA’=BB’.$$

Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники $$CC’F$$ и $$BB’F$$. Имеем:

$$\angle CC’F=\angle BB’F=90^\circ,$$

$$\angle CFC’=\angle BFB’$$ — вертикальные углы,

$$CF=BF.$$

Следовательно, $$\triangle CC’F \cong \triangle BB’F$$ по гипотенузе и острому углу. Значит,

$$CC’=BB’.$$

Так как уже получено $$AA’=BB’$$, то

$$AA’=BB’=CC’.$$

Значит, вершины треугольника равноудалены от прямой, на которой лежит его средняя линия.

Ответ

$$AA’=BB’=CC’.$$