Упр.204 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 204. Вершинами четырёхугольника являются середины сторон прямоугольника с диагональю 12 см. Определите вид четырёхугольника и найдите его стороны.

В прямоугольнике $$ABCD$$ диагонали равны, значит

$$AC=BD=12\text{ см}.$$

Точки $$M$$, $$N$$, $$K$$, $$L$$ — середины сторон прямоугольника, поэтому:

в треугольнике $$ABD$$ отрезок $$ML$$ — средняя линия, следовательно

$$ML=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}\cdot 12=6\text{ см};$$

в треугольнике $$CBD$$ отрезок $$NK$$ — средняя линия, значит

$$NK=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}\cdot 12=6\text{ см};$$

в треугольнике $$ABC$$ отрезок $$MN$$ — средняя линия, поэтому

$$MN=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\cdot 12=6\text{ см};$$

в треугольнике $$ADC$$ отрезок $$LK$$ — средняя линия, значит

$$LK=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\cdot 12=6\text{ см}.$$

Получаем, что все стороны четырёхугольника $$MNKL$$ равны:

$$MN=NK=KL=LM=6\text{ см}.$$

Кроме того, противоположные стороны параллельны, значит $$MNKL$$ — параллелограмм. Параллелограмм с равными сторонами — ромб.

Ответ

$$MNKL$$ — ромб, его сторона равна $$6\text{ см}$$.