Упр.203 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 203. Вершинами четырёхугольника являются середины сторон ромба с диагоналями 8 см и 14 см. Определите вид четырёхугольника и найдите его стороны.

Подробный ответ

Рассмотрим ромб $$ABCD$$ с диагоналями $$AC=14\text{ см}$$ и $$BD=8\text{ см}$$. Точки $$M, N, K, L$$ — середины его сторон.

В треугольнике $$ABD$$ точки $$M$$ и $$L$$ — середины сторон $$AB$$ и $$AD$$, значит, $$ML$$ — средняя линия треугольника. Тогда

$$ML=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}\cdot 8=4\text{ см}, \qquad ML \parallel BD.$$

В треугольнике $$CBD$$ точки $$N$$ и $$K$$ — середины сторон $$BC$$ и $$CD$$, поэтому $$NK$$ — средняя линия:

$$NK=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}\cdot 8=4\text{ см}, \qquad NK \parallel BD.$$

В треугольнике $$ABC$$ точки $$M$$ и $$N$$ — середины сторон $$AB$$ и $$BC$$, значит, $$MN$$ — средняя линия:

$$MN=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\cdot 14=7\text{ см}, \qquad MN \parallel AC.$$

В треугольнике $$ADC$$ точки $$L$$ и $$K$$ — середины сторон $$AD$$ и $$CD$$, поэтому $$LK$$ — средняя линия:

$$LK=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\cdot 14=7\text{ см}, \qquad LK \parallel AC.$$

Так как в ромбе диагонали перпендикулярны, то $$AC \perp BD$$. Следовательно, $$MN \parallel AC$$ и $$ML \parallel BD$$, значит, $$MN \perp ML$$. Кроме того, противоположные стороны попарно параллельны и равны:

$$MN=LK=7\text{ см}, \qquad ML=NK=4\text{ см}.$$

Значит, $$MNKL$$ — прямоугольник.