Упр.202 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 202. Сумма диагоналей четырёхугольника равна 28 см. Найдите периметр четырёхугольника, вершины которого являются серединами сторон данного четырёхугольника.

Обозначим середины сторон четырёхугольника через $$M, N, K, L$$. Тогда:

• в треугольнике $$ABD$$ точки $$M$$ и $$L$$ — середины сторон $$AB$$ и $$AD$$, значит $$ML$$ — средняя линия, поэтому $$ML=\frac{1}{2}BD$$;
• в треугольнике $$CBD$$ точки $$N$$ и $$K$$ — середины сторон $$BC$$ и $$CD$$, значит $$NK$$ — средняя линия, поэтому $$NK=\frac{1}{2}BD$$;
• в треугольнике $$ABC$$ точки $$M$$ и $$N$$ — середины сторон $$AB$$ и $$BC$$, значит $$MN$$ — средняя линия, поэтому $$MN=\frac{1}{2}AC$$;
• в треугольнике $$ADC$$ точки $$L$$ и $$K$$ — середины сторон $$AD$$ и $$CD$$, значит $$LK$$ — средняя линия, поэтому $$LK=\frac{1}{2}AC$$.

Тогда периметр четырёхугольника $$MNKL$$ равен:

$$ P_{MNKL}=MN+NK+KL+LM $$

$$ P_{MNKL}=\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}BD+\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}BD $$

$$ P_{MNKL}=AC+BD $$

По условию $$AC+BD=28\text{ см}$$, значит

$$ P_{MNKL}=28\text{ см}. $$

Ответ

$$28\text{ см}$$