Упр.202 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

1. Сумма диагоналей четырёхугольника равна $$28\ \text{см}$$. Найдите периметр четырёхугольника, вершины которого являются серединами сторон данного четырёхугольника.

Обозначим середины сторон четырёхугольника через $$M, N, K, L$$. Тогда:

• в треугольнике $$ABD$$ точки $$M$$ и $$L$$ — середины сторон $$AB$$ и $$AD$$, значит $$ML$$ — средняя линия, поэтому $$ML=\frac{1}{2}BD$$;
• в треугольнике $$CBD$$ точки $$N$$ и $$K$$ — середины сторон $$BC$$ и $$CD$$, значит $$NK$$ — средняя линия, поэтому $$NK=\frac{1}{2}BD$$;
• в треугольнике $$ABC$$ точки $$M$$ и $$N$$ — середины сторон $$AB$$ и $$BC$$, значит $$MN$$ — средняя линия, поэтому $$MN=\frac{1}{2}AC$$;
• в треугольнике $$ADC$$ точки $$L$$ и $$K$$ — середины сторон $$AD$$ и $$CD$$, значит $$LK$$ — средняя линия, поэтому $$LK=\frac{1}{2}AC$$.

Тогда периметр четырёхугольника $$MNKL$$ равен:

$$P_{MNKL}=MN+NK+KL+LM$$

$$P_{MNKL}=\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}BD+\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}BD$$

$$P_{MNKL}=AC+BD$$

По условию $$AC+BD=28\text{ см}$$, значит

$$P_{MNKL}=28\text{ см}.$$

Ответ

$$28\text{ см}$$