Упр.200 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 200. Найдите углы треугольника, две средние линии которого равны и перпендикулярны.

Подробный ответ

Пусть $$DF$$ и $$EF$$ — средние линии треугольника $$ABC$$. Тогда

$$DF=\frac12 AC,\qquad EF=\frac12 AB.$$

По условию $$DF=EF$$, значит

$$\frac12 AC=\frac12 AB,\qquad AB=AC.$$

Следовательно, треугольник $$ABC$$ равнобедренный, поэтому $$\angle B=\angle C$$.

Так как $$DF \perp EF$$, то угол между средними линиями равен $$90^\circ$$. Но средние линии параллельны соответствующим сторонам треугольника, значит $$DF \parallel AC$$ и $$EF \parallel AB$$. Тогда

$$\angle A=\angle (AB,AC)=\angle (EF,DF)=90^\circ.$$

Остальные углы равны, а их сумма равна $$90^\circ$$:

$$\angle B+\angle C=180^\circ-90^\circ=90^\circ.$$

Так как $$\angle B=\angle C$$, получаем

$$2\angle B=90^\circ,\qquad \angle B=45^\circ.$$

Тогда и $$\angle C=45^\circ$$.