Упр.20 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

1. В треугольнике $$\text{АВС}$$ известно, что $$\angle A=44^\circ$$, $$\angle B=56^\circ$$. Биссектрисы $$\text{АК}$$ и $$\text{ВМ}$$ треугольника пересекаются в точке $$\text{О}$$. Найдите углы четырёхугольника: 1) $$\text{МОКС}$$; 2) $$\text{АОВС}$$.

В треугольнике $$ABC$$ найдём третий угол:

$$\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ,$$

$$44^\circ+56^\circ+\angle C=180^\circ,$$

$$\angle C=80^\circ.$$

Так как $$AK$$ и $$BM$$ — биссектрисы, то

$$\angle BAK=\frac{1}{2}\angle A=22^\circ,$$

$$\angle ABM=\frac{1}{2}\angle B=28^\circ.$$

Рассмотрим треугольник $$ABK$$:

$$\angle BAK+\angle ABK+\angle AKB=180^\circ,$$

$$22^\circ+56^\circ+\angle AKB=180^\circ,$$

$$\angle AKB=102^\circ.$$

Рассмотрим треугольник $$ABM$$:

$$\angle BAM+\angle ABM+\angle AMB=180^\circ,$$

$$44^\circ+28^\circ+\angle AMB=180^\circ,$$

$$\angle AMB=108^\circ.$$

1) Найдём углы четырёхугольника $$MOKC$$.

В точке $$K$$ угол четырёхугольника равен

$$\angle MKC=180^\circ-\angle AKB=180^\circ-102^\circ=78^\circ.$$

В точке $$M$$ угол четырёхугольника равен

$$\angle OMC=180^\circ-\angle AMB=180^\circ-108^\circ=72^\circ.$$

Тогда сумма углов четырёхугольника $$MOKC$$ равна $$360^\circ$$:

$$\angle OMC+\angle MOK+\angle OKC+\angle MCK=360^\circ,$$

$$72^\circ+\angle MOK+78^\circ+80^\circ=360^\circ,$$

$$\angle MOK=130^\circ.$$

2) Найдём углы четырёхугольника $$AOBC$$.

Сумма его углов равна $$360^\circ$$:

$$\angle A+\angle AOB+\angle B+\angle C=360^\circ,$$

$$22^\circ+\angle AOB+28^\circ+80^\circ=360^\circ,$$

$$\angle AOB=230^\circ.$$

Ответ

1) $$72^\circ,\ 78^\circ,\ 80^\circ,\ 130^\circ$$; 2) $$22^\circ,\ 28^\circ,\ 80^\circ,\ 230^\circ$$.