Упр.198 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 198. Докажите, что средняя линия DE треугольника АВС (точки D и Е принадлежат сторонам АВ и ВС соответственно) и его медиана ВМ точкой пересечения делятся пополам.

Подробный ответ

1) В треугольнике $$ABC$$ точка $$M$$ — середина стороны $$AC$$, так как $$BM$$ — медиана. Значит, $$AM=CM$$.

Проведём через точку $$M$$ прямую, параллельную стороне $$BC$$. Она пересечёт сторону $$AB$$ в точке $$D$$. Тогда по теореме о средней линии треугольника точка $$D$$ — середина стороны $$AB$$, а отрезок $$DM$$ — средняя линия треугольника $$ABC$$. Следовательно,

$$DM=\frac{1}{2}BC,\qquad DM\parallel BC.$$

Так как $$DE$$ — средняя линия треугольника $$ABC$$, то

$$DE=\frac{1}{2}BC,\qquad DE\parallel BC.$$

Отсюда получаем:

$$DM=DE,\qquad DM\parallel DE.$$

Значит, четырёхугольник $$DMEO$$ является параллелограммом, где $$O$$ — точка пересечения прямых $$BM$$ и $$DE$$.

В параллелограмме диагонали делятся точкой пересечения пополам. Поэтому

$$BO=OM,\qquad DO=OE.$$

Что и требовалось доказать.

Оцени решение

← Предыдущий Следующий →

Сообщить об ошибке