Упр.196 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 196. Докажите, что средние линии треугольника разбивают его на четыре равных треугольника.

Подробный ответ

В треугольнике $$ABC$$ точки $$M$$, $$N$$ и $$K$$ — середины его сторон, значит $$MN$$, $$MK$$ и $$KN$$ — средние линии.

Тогда по свойству средней линии треугольника:

$$MN=\frac{1}{2}AC,$$
$$MK=\frac{1}{2}BC,$$
$$KN=\frac{1}{2}AB.$$

Так как $$M$$, $$N$$ и $$K$$ — середины сторон, то

$$AM=BM=\frac{1}{2}AB,$$
$$BN=CN=\frac{1}{2}BC,$$
$$AK=CK=\frac{1}{2}AC.$$

Рассмотрим треугольники $$AMK$$, $$BMN$$, $$CNK$$ и $$MKN$$. У них соответственно равны три стороны:

$$AM=BM,$$
$$MK=BN,$$
$$AK=MN,$$

а также

$$BM=CN,$$
$$BN=CK,$$
$$MN=MK.$$

Следовательно, все четыре треугольника равны по третьему признаку равенства треугольников:

$$\triangle AMK \cong \triangle BMN \cong \triangle CNK \cong \triangle MKN.$$