Упр.194 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 194. Докажите, что периметр треугольника, стороны которого являются средними линиями треугольника АВС, равен половине периметра треугольника АВС.

В треугольнике $$ABC$$ отрезки $$MN$$, $$MK$$ и $$KN$$ являются средними линиями, значит:

$$MN=\frac{1}{2}AC,$$

$$MK=\frac{1}{2}BC,$$

$$KN=\frac{1}{2}AB.$$

Тогда периметр треугольника $$MNK$$ равен:

$$P_{MNK}=MN+MK+KN.$$

Подставим найденные выражения:

$$P_{MNK}=\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}BC+\frac{1}{2}AB.$$

Вынесем $$\frac{1}{2}$$ за скобки:

$$P_{MNK}=\frac{1}{2}(AC+BC+AB).$$

Но $$AC+BC+AB=P_{ABC}$$, значит

$$P_{MNK}=\frac{1}{2}P_{ABC}.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$P_{MNK}=\frac{1}{2}P_{ABC}.$$