Упр.187 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

На рисунке 55 $$EF \parallel AD$$, $$BF = KF$$, $$CF = DF$$. Докажите, что $$EF \parallel BC$$.

Рассмотрим треугольники $$BFC$$ и $$KFD$$.

$$BF=KF$$ и $$CF=DF$$ по условию, а $$\angle BFC=\angle KFD$$ как вертикальные углы.

Следовательно, $$\triangle BFC \cong \triangle KFD$$ по первому признаку равенства треугольников. Тогда соответствующие углы равны:

$$\angle CBF=\angle DKF.$$

Точки $$B, F, K$$ лежат на одной прямой, значит лучи $$BF$$ и $$BK$$ совпадают, а лучи $$KF$$ и $$KB$$ совпадают. Поэтому

$$\angle CBF=\angle CBK,\qquad \angle DKF=\angle DKB.$$

Из равенства углов получаем, что прямые $$BC$$ и $$AD$$ параллельны, так как они образуют равные углы с секущей $$BK$$.

По условию также $$EF \parallel AD$$. Тогда, если две прямые параллельны одной и той же прямой, то они параллельны между собой:

$$EF \parallel AD,\quad AD \parallel BC \;\Rightarrow\; EF \parallel BC.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$EF \parallel BC.$$