Упр.186 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 186. На рисунке 54 АВ параллельна CD, AB = AЕ, CD = СЕ. Докажите, что BE перпендикулярна DE.

1) Рассмотрим треугольник $$ABE$$. Так как $$AB=AE$$, то он равнобедренный, значит, $$\angle ABE=\angle AEB$$.

Тогда

$$\angle ABE+\angle AEB+\angle BAE=180^\circ,$$

откуда

$$\angle BAE=180^\circ-2\angle AEB.$$

2) Рассмотрим треугольник $$CDE$$. Так как $$CD=CE$$, то он равнобедренный, значит, $$\angle CDE=\angle CED$$.

Тогда

$$\angle CDE+\angle CED+\angle DCE=180^\circ,$$

откуда

$$\angle DCE=180^\circ-2\angle CED.$$

3) Прямые $$AB$$ и $$CD$$ параллельны, а прямая $$AC$$ — секущая. Поэтому

$$\angle BAC+\angle DCE=180^\circ.$$

Но $$\angle BAC=\angle BAE$$, так как точки $$A,E,C$$ лежат на одной прямой. Тогда

$$\left(180^\circ-2\angle AEB\right)+\left(180^\circ-2\angle CED\right)=180^\circ,$$

откуда

$$2\angle AEB+2\angle CED=180^\circ,$$

$$\angle AEB+\angle CED=90^\circ.$$

4) Рассмотрим угол $$AEC$$. Он состоит из углов $$\angle AEB$$ и $$\angle BEC$$, а также из угла $$\angle CED$$:

$$\angle AEC=\angle AEB+\angle BED+\angle CED.$$

Так как точки $$A,E,C$$ лежат на одной прямой, то

$$\angle AEC=180^\circ.$$

Следовательно,

$$180^\circ=90^\circ+\angle BED,$$

откуда

$$\angle BED=90^\circ.$$

Значит, $$BE\perp DE$$.

Ответ

$$BE\perp DE$$.