Упр.185 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 185. На сторонах ВС и CD квадрата ABCD отмечены точки М и Е так, что углы ВАМ и МАЕ равны. Докажите, что АЕ = ВМ + DE.

Отметим на продолжении стороны $$CD$$ точку $$M_1$$ так, чтобы $$DM_1=BM$$.

Рассмотрим квадраты $$ABCD$$ и $$AD M_1 M$$. Тогда $$\angle A=\angle B=\angle D=90^\circ$$ и $$AB=AD$$.

Рассмотрим треугольники $$ABM$$ и $$ADM_1$$. У них

$$\angle ABM=\angle ADM_1=90^\circ,$$

$$AB=AD,$$

$$\angle BAM=\angle DAM_1.$$

Следовательно, $$\triangle ABM \cong \triangle ADM_1$$ по двум сторонам и углу между ними. Отсюда

$$AM=AM_1.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$AEM_1$$. Так как $$\angle BAM=\angle MAE$$, то

$$\angle EAD=90^\circ-\angle BAM-\angle MAE=90^\circ-2\angle BAM.$$

С другой стороны, из равенства треугольников $$ABM$$ и $$ADM_1$$ получаем

$$\angle DAM_1=\angle BAM.$$

Тогда

$$\angle EAM_1=\angle EAD+\angle DAM_1=90^\circ-\angle BAM.$$

Кроме того, в прямоугольном треугольнике $$ADM_1$$

$$\angle AM_1D=90^\circ-\angle DAM_1=90^\circ-\angle BAM.$$

Значит,

$$\angle EAM_1=\angle AM_1E,$$

то есть треугольник $$AEM_1$$ равнобедренный, и потому

$$EM_1=AE.$$

Но по построению

$$EM_1=DE+DM_1.$$

Так как $$DM_1=BM$$, получаем

$$AE=EM_1=DE+BM.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$AE=BM+DE.$$