Упр.184 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 184. В квадрате ABCD отмечена точка О так, что угол OAD = углу ODA = 15°. Докажите, что треугольник ВОС — равносторонний.

Подробный ответ

Отметим точку $$O_1$$ так, чтобы треугольник $$BO_1C$$ был равносторонним. Тогда

$$BO_1=CO_1=BC,$$

$$\angle CBO_1=\angle BCO_1=60^\circ.$$

Рассмотрим квадрат $$ABCD$$. Тогда

$$\angle A=\angle B=\angle C=90^\circ,$$

$$AB=BC=CD.$$

В треугольнике $$ABO_1$$ имеем

$$BO_1=BC=AB,$$

значит, $$\triangle ABO_1$$ равнобедренный. Кроме того,

$$\angle ABO_1=90^\circ-60^\circ=30^\circ.$$

Тогда

$$\angle BAO_1=\angle BO_1A,$$

и из суммы углов треугольника $$ABO_1$$ получаем

$$\angle BAO_1+\angle BO_1A+\angle ABO_1=180^\circ,$$

$$\angle BAO_1+\angle BAO_1+30^\circ=180^\circ,$$

$$2\angle BAO_1=150^\circ,$$

$$\angle BAO_1=75^\circ.$$

Рассмотрим треугольники $$ABO_1$$ и $$DCO_1$$. Имеем

$$\angle DCO_1=90^\circ-60^\circ=30^\circ,$$

$$\angle DCO_1=\angle ABO_1,$$

$$CO_1=CD=AB=BO_1.$$

Следовательно, $$\triangle ABO_1 \cong \triangle DCO_1$$ по первому признаку, откуда

$$AO_1=O_1D.$$

Значит, треугольник $$AO_1D$$ равнобедренный. Тогда

$$\angle DAO_1=90^\circ-75^\circ=15^\circ,$$

и, следовательно,

$$\angle ADO_1=\angle DAO_1=15^\circ.$$

Но по условию

$$\angle OAD=\angle ODA=15^\circ.$$

Следовательно, точки $$O$$ и $$O_1$$ совпадают. Значит, точка $$O$$ обладает тем же свойством, что и $$O_1$$, а потому треугольник $$BOC$$ равносторонний.