Упр.183 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

1) по сумме диагонали и стороны;
2) по разности диагонали и стороны.

Подробный ответ

1) Построение квадрата по сумме диагонали и стороны.

Пусть дана сумма $$AB$$, где $$AB=d+a$$, а нужно построить квадрат со стороной $$a$$ и диагональю $$d$$.

Построим две перпендикулярные прямые и обозначим их точку пересечения буквой $$H$$. На одной прямой отложим отрезок $$HM$$, а на другой — отрезок $$HP$$ так, чтобы

$$HM=HP=AB.$$

Построим биссектрису угла $$MPH$$ и отметим точку $$K$$ на пересечении биссектрисы с прямой $$MH$$. Из точки $$K$$ опустим перпендикуляр $$KN$$ на прямую $$MP$$.

Из точек $$M$$ и $$K$$ проведём окружности радиуса $$MN$$. Точку их пересечения обозначим $$T$$.

Четырёхугольник $$MNKT$$ — квадрат: его стороны равны, так как $$MN=NK=KT=TM$$ по построению, а соседние стороны перпендикулярны, поскольку $$KN \perp MP$$ и точки $$M, K$$ лежат на одной прямой. Значит, построен квадрат.

2) Построение квадрата по разности диагонали и стороны.

Пусть дана разность $$AB$$, где $$AB=d-a$$.

Проведём прямую и отметим на ней точку $$S$$. По разные стороны от $$S$$ отметим точки $$C$$ и $$D$$. Через $$S$$ восстановим перпендикуляр $$SE$$ к данной прямой. Построим биссектрисы углов $$CSE$$ и $$FSD$$; получим лучи $$SF$$ и $$SG$$.

Построим две перпендикулярные прямые и обозначим их пересечение буквой $$M$$. Построим биссектрису прямого угла. На биссектрисе отложим отрезок $$ML=AB$$.

Из луча $$LM$$ отложим угол, равный углу $$CSG$$, и отметим точку $$N$$ на одной из сторон этого угла. На другой стороне отложим отрезок $$MT$$ так, чтобы

$$MT=MN.$$

Из точки $$N$$ проведём окружность радиуса $$MN$$. Точку пересечения окружности с прямой $$ML$$ обозначим $$K$$.

Тогда четырёхугольник $$MNKT$$ — квадрат: по построению $$MN=MT$$, а также $$MN=NK=KT=TM$$, следовательно, все его стороны равны. Кроме того, соседние стороны образуют прямые углы, значит, это квадрат.