Упр.182 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Через произвольную точку, принадлежащую квадрату, проведены две перпендикулярные прямые, каждая из которых пересекает две противолежащие стороны квадрата. Докажите, что отрезки этих прямых, принадлежащие квадрату, равны.

Подробный ответ

Проведём через точку пересечения прямых $$M$$ и $$E$$ перпендикуляры к сторонам квадрата: $$MT \perp AD$$ и $$EK \perp CD$$.

Так как $$ABCD$$ — квадрат, то $$AB \parallel CD$$, $$AD \parallel BC$$, $$AB \perp AD$$ и $$AB=AD$$.

Рассмотрим четырёхугольник $$ABMT$$. В нём $$AB \parallel MT$$, так как обе прямые перпендикулярны $$AD$$, а $$AT \parallel BM$$, поскольку $$AT \subset AD$$ и $$BM \subset BC$$, причём $$AD \parallel BC$$. Значит, $$ABMT$$ — параллелограмм. Тогда

$$MT=AB.$$

Аналогично, в четырёхугольнике $$AEKD$$ имеем $$AD \parallel EK$$ и $$AE \parallel KD$$, следовательно, $$AEKD$$ — параллелограмм. Отсюда

$$EK=AD.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$MTN$$ и $$KEF$$. У них

$$MT=AB=AD=EK,$$

$$\angle MTN=\angle KEF=90^\circ,$$

а углы $$\angle TMN$$ и $$\angle KEF$$ равны, так как они дополняют до $$180^\circ$$ равные прямые углы при пересечении двух перпендикулярных прямых.

Следовательно, $$\triangle MTN \cong \triangle KEF$$ по стороне и двум прилежащим углам. Значит,

$$MN=EF.$$

Что и требовалось доказать.