Упр.180 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 180. Вершины М и К равностороннего треугольника АМК принадлежат сторонам ВС и CD квадрата АВCD. Докажите, что МК параллельна BD.

Рассмотрим квадрат $$ABCD$$. Тогда

$$AB=BC=CD=AD,$$

$$\angle B=\angle C=\angle D=90^\circ.$$

Диагональ $$BD$$ делит прямой угол $$\angle CBA$$ пополам, значит

$$\angle CBD=\frac{1}{2}\angle B=45^\circ.$$

Рассмотрим треугольники $$ABM$$ и $$ADK$$. Имеем:

$$\angle ABM=\angle ADK=90^\circ,$$

$$AM=AK$$

как стороны равностороннего треугольника $$AMK$$, а также

$$AB=AD.$$

Следовательно, $$\triangle ABM \cong \triangle ADK$$ по гипотенузе и катету. Отсюда

$$BM=DK.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$MCK$$. Так как

$$CM=BC-BM,$$

$$CK=CD-DK,$$

а в квадрате $$BC=CD$$ и уже найдено $$BM=DK,$$ то получаем

$$CM=CK.$$

Значит, треугольник $$MCK$$ равнобедренный, поэтому его углы при основании равны:

$$\angle CMK=\angle CKM.$$

Кроме того, в равностороннем треугольнике $$AMK$$ угол

$$\angle MKA=60^\circ,$$

а так как точки $$A, K, D$$ лежат на одной прямой, то

$$\angle CKM=45^\circ.$$

Следовательно,

$$\angle CMK=45^\circ.$$

Итак,

$$\angle CMK=\angle CBD=45^\circ,$$

а точки $$B, M, C$$ лежат на одной прямой. Значит, прямые $$MK$$ и $$BD$$ параллельны.

Ответ

$$MK \parallel BD.$$