Упр.179 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 179. Докажите, что точки пересечения биссектрис углов прямоугольника, не являющегося квадратом, являются вершинами квадрата.

Пусть $$ABCD$$ — прямоугольник, а $$M, T, K, L$$ — точки пересечения биссектрис углов $$A, B, C, D$$ соответственно.

В прямоугольнике $$\angle A=\angle B=\angle C=\angle D=90^\circ$$, значит биссектрисы этих углов делят их пополам.

Рассмотрим треугольник $$AMB$$. Тогда

$$\angle MAB=\angle MBA=\frac{1}{2}\angle A=45^\circ.$$

Следовательно,

$$\angle AMB=180^\circ-45^\circ-45^\circ=90^\circ.$$

Аналогично в треугольнике $$CKD$$ получаем

$$\angle KCD=\angle KDC=\frac{1}{2}\angle C=45^\circ,$$

откуда

$$\angle CKD=180^\circ-45^\circ-45^\circ=90^\circ.$$

Рассмотрим треугольники $$AMB$$ и $$CKD$$. Имеем:

$$\angle AMB=\angle CKD=90^\circ,$$

$$\angle BAM=\angle DCK=45^\circ,$$

$$AB=CD.$$

Значит, $$\triangle AMB \cong \triangle CKD$$ по гипотенузе и острому углу, поэтому

$$BM=CK.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$BLC$$. Так как $$BL$$ и $$CL$$ — биссектрисы углов $$B$$ и $$C$$, то

$$\angle LBC=\angle LCB=\frac{1}{2}\cdot 90^\circ=45^\circ.$$

Тогда

$$\angle BLC=180^\circ-45^\circ-45^\circ=90^\circ,$$

то есть $$\triangle BLC$$ — равнобедренный, и потому

$$BL=CL.$$

В четырёхугольнике $$MTKL$$ углы при вершинах $$M, L, K$$ прямые, значит

$$\angle M=\angle L=\angle K=90^\circ.$$

Тогда

$$\angle M+\angle L+\angle K+\angle T=360^\circ,$$

$$90^\circ+90^\circ+90^\circ+\angle T=360^\circ,$$

$$\angle T=90^\circ.$$

Следовательно, $$MTKL$$ — прямоугольник.

Кроме того, из равенств $$BM=CK$$ и $$BL=CL$$ получаем

$$ML=BL-BM=CL-CK=KT.$$

В прямоугольнике $$MTKL$$ противоположные стороны равны, значит

$$MT=KL.$$

Так как в прямоугольнике $$MTKL$$ соседние стороны равны, то это квадрат.

Ответ

Точки пересечения биссектрис углов прямоугольника являются вершинами квадрата.